Révisions Baccalauréat 1eSTI2D — Sujet 2

Mathématiques · Cochez chaque question au fur et à mesure

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Automatismes
12 types × 3
0/36
›
① Pourcentage d'un nombre
✓
a)
Calculer 80 % de 30
0,8 × 30 = 24
✓
b)
Calculer 25 % de 60
0,25 × 60 = 15
✓
c)
Calculer 150 % de 40
1,5 × 40 = 60
② Fraction d'un nombre
✓
a)
Calculer 2/9 de 180
2/9 × 180 = 360/9 = 40
✓
b)
Calculer 3/4 de 200
3/4 × 200 = 600/4 = 150
✓
c)
Calculer 5/6 de 72
5/6 × 72 = 360/6 = 60
③ Proportion (% d'un %)
✓
a)
À quelle proportion correspond 20 % de 45 % ?
0,20 × 0,45 = 0,09 = 9 %
✓
b)
À quelle proportion correspond 30 % de 50 % ?
0,30 × 0,50 = 0,15 = 15 %
✓
c)
À quelle proportion correspond 40 % de 25 % ?
0,40 × 0,25 = 0,10 = 10 %
④ Taux d'évolution réciproque
✓
a)
Taux réciproque de +50 % ?
t′ = −t/(1+t) = −0,5/1,5 = −1/3 ≈ −33,3 %
✓
b)
Taux réciproque de +25 % ?
t′ = −0,25/1,25 = −0,2 = −20 %
✓
c)
Taux réciproque de −20 % ?
t′ = −(−0,2)/(1−0,2) = 0,2/0,8 = 0,25 = +25 %
⑤ Comparer deux fractions
✓
a)
Comparer 3/7 et 5/6
3/7 = 18/42   5/6 = 35/42  →  3/7 < 5/6
✓
b)
Comparer 4/5 et 7/9
4/5 = 36/45   7/9 = 35/45  →  4/5 > 7/9
✓
c)
Comparer 2/3 et 5/8
2/3 = 16/24   5/8 = 15/24  →  2/3 > 5/8
⑥ Calcul fractionnaire (priorités)
✓
a)
Calculer 3/4 − 2/7 × 8/3
Priorité × : 2/7 × 8/3 = 16/21
3/4 − 16/21 = 63/84 − 64/84 = −1/84
✓
b)
Calculer 1/2 + 1/3 × 6/5
Priorité × : 1/3 × 6/5 = 2/5
1/2 + 2/5 = 5/10 + 4/10 = 9/10
✓
c)
Calculer 5/6 − 1/4 × 2/3
Priorité × : 1/4 × 2/3 = 1/6
5/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3
⑦ Puissances → forme aᵇ
✓
a)
Écrire 3⁴ × 3⁻² / 9 sous la forme aᵇ
9 = 3² → 3⁴ × 3⁻² × 3⁻² = 3^(4−2−2) = 3⁰ = 1
✓
b)
Écrire 2⁶ / (2³ × 2) sous la forme aᵇ
2³ × 2 = 2⁴ → 2⁶ / 2⁴ = 2^(6−4) = 2² = 4
✓
c)
Écrire 7² × 7³ / 7⁴ sous la forme aᵇ
7^(2+3) / 7⁴ = 7^(5−4) = 7¹ = 7
⑧ Ordre de grandeur
✓
a)
Ordre de grandeur de 167 935 017 815 ?
≈ 1,68 × 10¹¹  →  10¹¹
✓
b)
Ordre de grandeur de 2 309 ?
≈ 2,3 × 10³  →  10³
✓
c)
Ordre de grandeur de 18 700 ?
≈ 1,87 × 10⁴  →  10⁴
⑨ Conversion m/s → km/h
✓
a)
Convertir 13 m/s en km/h
× 3,6 : 13 × 3,6 = 46,8 km/h
✓
b)
Convertir 25 m/s en km/h
× 3,6 : 25 × 3,6 = 90 km/h
✓
c)
Convertir 8 m/s en km/h
× 3,6 : 8 × 3,6 = 28,8 km/h
⑩ Conversion de durées
✓
a)
Convertir 7 jours en secondes
7 × 24 × 3 600 = 604 800 s
✓
b)
Convertir 3 heures en secondes
3 × 3 600 = 10 800 s
✓
c)
Convertir 2 jours en secondes
2 × 86 400 = 172 800 s
⑪ Résoudre une inéquation
✓
a)
Résoudre 2x + 4 < 8x − 6
2x + 4 < 8x − 6 → 10 < 6x → x > 5/3
✓
b)
Résoudre 3x − 1 ≥ x + 7
3x − 1 ≥ x + 7 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4
✓
c)
Résoudre 5 − 2x > 11
5 − 2x > 11 → −2x > 6 → x < −3 (on change le sens en divisant par −2)
⑫ Isoler une variable
✓
a)
Isoler R dans PV = nRT
PV = nRT → R = PV / (nT)
✓
b)
Isoler m dans E = mc²
E = mc² → m = E / c²
✓
c)
Isoler b dans A = ½ b h
A = ½ b h → 2A = b h → b = 2A / h
📈
Problème 1 — Suites
6 problèmes
0/21
›
📐 Suites arithmétiques (3 problèmes)
🐕 Jouets du chien — 6 jouets au jour 0, perd 0,5 jouet/jour
✓
a)
Modéliser par une relation fonctionnelle u(n)
u(n) = 6 − 0,5n
✓
b)
Calculer le terme de rang 2
u(2) = 6 − 0,5 × 2 = 6 − 1 = 5 jouets
✓
c)
Déterminer la raison
On retire 0,5 à chaque rang → a = −0,5
✓
d)
Sens de variation
a = −0,5 < 0 → suite décroissante
💰 Épargne — 50 € au départ, +20 € chaque semaine
✓
a)
Modéliser par une relation fonctionnelle u(n)
u(n) = 50 + 20n
✓
b)
Calculer le montant à la semaine 4
u(4) = 50 + 20 × 4 = 50 + 80 = 130 €
✓
c)
Déterminer la raison
On ajoute 20 chaque semaine → a = 20
✓
d)
Sens de variation
a = 20 > 0 → suite croissante
🛢️ Réservoir — 200 L au départ, −15 L par jour
✓
a)
Modéliser par une relation fonctionnelle u(n)
u(n) = 200 − 15n
✓
b)
Calculer le volume au jour 3
u(3) = 200 − 15 × 3 = 200 − 45 = 155 L
✓
c)
Déterminer la raison
On retire 15 chaque jour → a = −15
✓
d)
Sens de variation
a = −15 < 0 → suite décroissante
📈 Suites géométriques (3 problèmes)
🐡 Poisson globe — diamètre augmenté de 20 % chaque seconde
✓
a)
Modéliser par une relation de récurrence
d(n+1) = d(n) × 1,2  (avec d(0) le diamètre initial)
✓
b)
Déterminer la raison de la suite
+20 % → coefficient multiplicateur q = 1,2
✓
c)
Sens de variation à l'aide de la raison
q = 1,2 > 1 → suite croissante
🦠 Bactéries — la population double chaque heure
✓
a)
Modéliser par une relation de récurrence
u(n+1) = u(n) × 2  (avec u(0) la population initiale)
✓
b)
Déterminer la raison de la suite
Population ×2 → q = 2
✓
c)
Sens de variation à l'aide de la raison
q = 2 > 1 → suite croissante
💊 Médicament — la dose diminue de 30 % chaque heure
✓
a)
Modéliser par une relation de récurrence
Il reste 70 % : u(n+1) = u(n) × 0,7
✓
b)
Déterminer la raison de la suite
−30 % → il reste 70 % → q = 0,7
✓
c)
Sens de variation à l'aide de la raison
0 < q = 0,7 < 1 → suite décroissante
🦋
Problème 2 — Fonctions
38 questions
0/38
›
🪲 Problème type bac — trajectoire (degré 3)
f(t) = t³ − 2t² − (1/3)t + 4  (altitude du scarabée sur [0 ; 3])
✓
a)
Modéliser l'altitude par une fonction (cube du temps − tiers du temps + 4 − double du carré)
f(t) = t³ − 2t² − (1/3)t + 4
✓
b)
Déterminer les instants où l'altitude vaut 6 cm (au dixième)
Résoudre f(t) = 6 → t ≈ 2,5 s
✓
c)
Déterminer les instants au-dessus de 5 cm (au dixième)
f(t) > 5 → t > 2,3 s (sur [0;3])
✓
d)
Déterminer les instants en dessous de 3 cm (au dixième)
f(t) < 3 → t ∈ ]0,8 ; 1,9[
✓
e)
Taux de variation entre t = 0 et t = 3
(f(3) − f(0))/3 = (12 − 4)/3 = 8/3 ≈ 2,67 cm/s
✓
f)
Interpréter ce taux de variation
Le coléoptère monte en moyenne de 8/3 ≈ 2,67 cm par seconde entre t = 0 et t = 3.
✓
g)
f′(1) = −4/3 : interprétation géométrique
C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse t = 1 (pente négative → courbe décroissante).
✓
h)
Équation de la tangente en t = 1 (f(1) = 8/3)
y = −4/3(t − 1) + 8/3 = −(4/3)t + 4
📐 Polynôme degré 3 : racine, factorisation, signe (3 exos)
k(x) = 2x³ − 12x² + 22x − 12  (racine évidente : 1)
✓
a)
Vérifier que 1 est une racine
k(1) = 2 − 12 + 22 − 12 = 0 ✓
✓
b)
Factoriser k(x)
k(x) = 2(x − 1)(x − 2)(x − 3)
✓
c)
Citer les racines puis étudier le signe
Racines : 1, 2, 3. a = 2 > 0 → signe alterné :
− sur ]−∞;1[ | + sur ]1;2[ | − sur ]2;3[ | + sur ]3;+∞[
p(x) = x³ − 4x² + x + 6  (racine évidente : −1)
✓
a)
Vérifier que −1 est une racine
p(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0 ✓
✓
b)
Factoriser p(x)
p(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3)
✓
c)
Citer les racines puis étudier le signe
Racines : −1, 2, 3. a = 1 > 0 → signe alterné :
− sur ]−∞;−1[ | + sur ]−1;2[ | − sur ]2;3[ | + sur ]3;+∞[
g(x) = x³ − 3x² − x + 3  (racine évidente : 1)
✓
a)
Vérifier que 1 est une racine
g(1) = 1 − 3 − 1 + 3 = 0 ✓
✓
b)
Factoriser g(x)
g(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 3)
✓
c)
Citer les racines puis étudier le signe
Racines : −1, 1, 3. a = 1 > 0 → signe alterné :
− sur ]−∞;−1[ | + sur ]−1;1[ | − sur ]1;3[ | + sur ]3;+∞[
📉 Polynôme degré 2 : dérivée, variations, extremum (3 exos)
l(x) = 3x² − 6x
✓
a)
Calculer la dérivée l′(x)
l′(x) = 6x − 6
✓
b)
Déterminer l'abscisse de l'extremum
l′(x) = 0 → 6x − 6 = 0 → x = 1
✓
c)
Donner l'extremum et le sens de variation
l(1) = 3 − 6 = −3 → minimum (1 ; −3)
Décroissante sur ]−∞;1[, croissante sur ]1;+∞[
f(x) = −2x² + 8x
✓
a)
Calculer la dérivée f′(x)
f′(x) = −4x + 8
✓
b)
Déterminer l'abscisse de l'extremum
f′(x) = 0 → −4x + 8 = 0 → x = 2
✓
c)
Donner l'extremum et le sens de variation
f(2) = −8 + 16 = 8 → maximum (2 ; 8)
Croissante sur ]−∞;2[, décroissante sur ]2;+∞[ (car a < 0)
g(x) = x² − 4x + 1
✓
a)
Calculer la dérivée g′(x)
g′(x) = 2x − 4
✓
b)
Déterminer l'abscisse de l'extremum
g′(x) = 0 → 2x − 4 = 0 → x = 2
✓
c)
Donner l'extremum et le sens de variation
g(2) = 4 − 8 + 1 = −3 → minimum (2 ; −3)
Décroissante sur ]−∞;2[, croissante sur ]2;+∞[
∛ Équation x³ = k (3 exos)
Résoudre une équation du type x³ = k
✓
a)
Résoudre x³ = 125
x = ∛125 = 5  (car 5³ = 125)
✓
b)
Résoudre x³ = 8
x = ∛8 = 2  (car 2³ = 8)
✓
c)
Résoudre x³ = 64
x = ∛64 = 4  (car 4³ = 64)
📈 Tangente et nombre dérivé (3 exos)
f(x) = x² + 2x + 1 — tangente au point d'abscisse a = 1
✓
a)
Calculer f′(x) puis f′(1)
f′(x) = 2x + 2,   f′(1) = 2 + 2 = 4
✓
b)
Calculer f(1)
f(1) = 1 + 2 + 1 = 4
✓
c)
Équation réduite de la tangente
y = f′(1)(x − 1) + f(1) = 4(x − 1) + 4 → y = 4x
g(x) = 4x² + 2x + 1 — tangente au point d'abscisse a = 0
✓
a)
Calculer g′(x) puis g′(0)
g′(x) = 8x + 2,   g′(0) = 2
✓
b)
Calculer g(0)
g(0) = 1
✓
c)
Équation réduite de la tangente
y = g′(0)(x − 0) + g(0) = 2x + 1 → y = 2x + 1
h(x) = x² − 2x — tangente au point d'abscisse a = 1
✓
a)
Calculer h′(x) puis h′(1)
h′(x) = 2x − 2,   h′(1) = 2 − 2 = 0
✓
b)
Calculer h(1)
h(1) = 1 − 2 = −1
✓
c)
Équation réduite de la tangente
y = h′(1)(x − 1) + h(1) = 0 × (x − 1) − 1 → y = −1 (tangente horizontale)
🎲
Problème 3 — Probabilités
3 problèmes
0/9
›
🌳 Expériences à deux étapes (3 problèmes)
🍫 Consommateur — chocolat (60 %) puis soda (30 %)
✓
a)
Représenter l'expérience par un arbre de probabilités
┌ choc (0,6) ─┬ soda (0,3) → 0,18
│                └ non-soda (0,7) → 0,42
└ non-choc (0,4) ┬ soda (0,3) → 0,12
                   └ non-soda (0,7) → 0,28
✓
b)
Déterminer les probabilités de toutes les issues
P(choc∩soda) = 0,18 | P(choc∩non-soda) = 0,42 | P(non-choc∩soda) = 0,12 | P(non-choc∩non-soda) = 0,28
Somme = 0,18 + 0,42 + 0,12 + 0,28 = 1 ✓
✓
c)
Est-ce une loi de Bernoulli ? Justifier
Non. Il y a 2 étapes successives et 4 issues possibles ; une loi de Bernoulli exige une seule épreuve à 2 issues.
📝 Élève — réussit le test (70 %) puis le bonus (40 %)
✓
a)
Représenter l'expérience par un arbre de probabilités
┌ test (0,7) ─┬ bonus (0,4) → 0,28
│                └ non-bonus (0,6) → 0,42
└ non-test (0,3) ┬ bonus (0,4) → 0,12
                   └ non-bonus (0,6) → 0,18
✓
b)
Déterminer les probabilités de toutes les issues
P(test∩bonus) = 0,28 | P(test∩non-bonus) = 0,42 | P(non-test∩bonus) = 0,12 | P(non-test∩non-bonus) = 0,18
Somme = 0,28 + 0,42 + 0,12 + 0,18 = 1 ✓
✓
c)
Est-ce une loi de Bernoulli ? Justifier
Non. Il y a 2 étapes successives et 4 issues possibles ; une loi de Bernoulli exige une seule épreuve à 2 issues.
⚙️ Machine — pièce conforme (85 %) puis emballage OK (90 %)
✓
a)
Représenter l'expérience par un arbre de probabilités
┌ conf (0,85) ─┬ emb (0,9) → 0,77
│                └ non-emb (0,1) → 0,08
└ non-conf (0,15) ┬ emb (0,9) → 0,14
                   └ non-emb (0,1) → 0,01
✓
b)
Déterminer les probabilités de toutes les issues
P(conf∩emb) = 0,77 | P(conf∩non-emb) = 0,08 | P(non-conf∩emb) = 0,14 | P(non-conf∩non-emb) = 0,01
Somme = 0,77 + 0,08 + 0,14 + 0,01 = 1 ✓
✓
c)
Est-ce une loi de Bernoulli ? Justifier
Non. Il y a 2 étapes successives et 4 issues possibles ; une loi de Bernoulli exige une seule épreuve à 2 issues.
📈
Suites numériques
›

Définition

Une suite numérique associe à tout entier naturel n un réel noté u(n) ou uₙ.
  • Relation fonctionnelle : u(n) exprimé directement en fonction de n
  • Relation de récurrence : u(n+1) exprimé en fonction de u(n), avec un terme initial

Représentation graphique — Nuage de points M(n ; u(n))

Les abscisses sont les entiers n, les ordonnées sont les termes u(n).
n u(n) 1 2 3 4 1 2 3 4
u(n) = 1 + 0,5n  — croissante (a = 0,5 > 0)
n v(n) 1 2 3 -2 -1 1 2
v(n) = 1 − n  — décroissante (a = −1 < 0)

Sens de variation

u est croissante si u(n+1) − u(n) ≥ 0 pour tout n
u est décroissante si u(n+1) − u(n) ≤ 0 pour tout n

Suite arithmétique — raison a

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même réel a.
Relation de récurrence : u(n+1) = u(n) + a
  • Si a > 0 → croissante  |  Si a < 0 → décroissante
  • Représentée par des points alignés (croissance linéaire)
n u(n) 1 2 3 4 1 2 3 4
Suite arithmétique : points alignés (croissance linéaire)

Prouver par le calcul : si u(n+1) − u(n) = a (constante) pour tout n, la suite est arithmétique de raison a.

Suite géométrique — raison q

On passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel non nul q.
Relation de récurrence : u(n+1) = u(n) × q
Modélise un taux d'évolution constant → croissance exponentielle.
  • Si q > 1 → croissante  |  Si 0 < q < 1 → décroissante
n u(n) 1 2 3 3 6 9 1 2 4 8
u(n) = 2ⁿ  — géométrique, q = 2 > 1 (croissante)
n v(n) 1 2 3 1 2 3 4 5 4 3 2.25 1.6875
v(n) = 4×0,75ⁿ  — géométrique, 0 < q = 0,75 < 1 (décroissante)

Prouver par le calcul : si u(n+1)/u(n) = q (constante) pour tout n, la suite est géométrique de raison q.

📐
Fonctions polynômes de degré 2
›

Formes et paraboles

Si a > 0 → parabole tournée vers le haut (∪)  |  Si a < 0 → vers le bas (∩)
x y -2 -1 1 2 3 6 9 f(x)=x²
a > 0 → tournée vers le haut (∪)
x y -2 -1 1 2 -9 -6 -3 f(x)=−x²
a < 0 → tournée vers le bas (∩)
x y 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3 4 x₁ x₂ sommet
f(x) = a(x−x₁)(x−x₂), ici x₁=1, x₂=3

Racines et signe

Les racines x₁ et x₂ sont les solutions de f(x) = 0.
Le signe alterne autour des racines, selon le signe de a.
x−∞x₁x₂+∞
f(x) si a>0+0−+
f(x) si a<0−0+−

Extremum

Un polynôme de degré 2 admet un extremum pour l'abscisse :
x_ext = (x₁ + x₂) / 2

Vérifier qu'une valeur est racine / factoriser

  • Substituer la valeur dans f(x) et vérifier que le résultat est 0
  • Si x₁ est racine connue : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
  • Résoudre x² = c (c > 0) : x = √c ou x = −√c
📐
Fonctions polynômes de degré 3
›

Propriétés

  • f(x) = ax³ et f(x) = ax³ + b sont strictement croissantes sur ℝ si a > 0, strictement décroissantes si a < 0
  • Forme factorisée a(x−x₁)(x−x₂)(x−x₃) → 3 racines, signe alterne
x y -2 -1 1 2 -8 -4 4 8 f(x)=x³
f(x) = ax³ (+ b)  — strictement croissante si a > 0
x y -1 1 2 -3 -2 -1 1 2 3 4 x₁ x₂ x₃
3 racines distinctes → la courbe coupe 3 fois l'axe (signe alterné)

Racine cubique

Pour tout réel k, il existe une unique solution à x³ = k :
la racine cubique de k, notée k^(1/3) ou ∛k.

x³ = 8 ⟺ x = 2   |   x³ = 125 ⟺ x = 5

Tableau de signe (a > 0, 3 racines distinctes)

x−∞x₁x₂x₃+∞
f(x)−0+0−+
∂
Dérivation
›

Taux de variation

Le taux de variation de f entre a et x :
T(x) = [f(x) − f(a)] / (x − a) = Δy/Δx
C'est le coefficient directeur de la droite (AM).
x y 1 2 3 4 2 4 6 8 10 A M Δx Δy sécante (AM)
T(x) = [f(x) − f(a)] / (x − a) = Δy/Δx = coeff. directeur de (AM)

Nombre dérivé — tangente

Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux de variation quand x → a.
C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en A(a ; f(a)).
x y 1 2 2 3 4 5 6 A B tangente sécante (AB)
f′(1) = 2 = coeff. directeur de la tangente en B(1 ; 3)

Formules de dérivation

constante → 0 x → 1 x² → 2x x³ → 3x² xⁿ → n·xⁿ⁻¹ (u+v)' = u'+v' (ku)' = ku'

Équation de la tangente

Tangente à la courbe de f au point d'abscisse a :
y = f'(a)(x − a) + f(a)

Cas f'(a) = 0 → tangente horizontale :

x y f′=0
Minimum — tangente horizontale
x y f′=0
Maximum — tangente horizontale
x y f′=0
Point d'inflexion — tangente horizontale

Variations selon le signe de la dérivée

f'(x) ≥ 0 sur I ⟺ f croissante sur I
f'(x) ≤ 0 sur I ⟺ f décroissante sur I
f' s'annule en changeant de signe → f admet un extremum
x y -2 -1 1 2 2 4 6 min (0 ; 2) f′<0 f′>0
f(x)=x²+2 : f′(x)=2x < 0 puis > 0 → minimum en x = 0
x−∞0+∞
f'(x) = 2x−0+
f(x) = x²+2↘2↗
🎲
Probabilités & Variables aléatoires
›

Probabilités conditionnelles

La probabilité de B sachant A, notée P_A(B) :
P_A(B) = Card(A∩B) / Card(A) (en équiprobabilité)

Tests diagnostiques

  • Faux positif : test positif alors que le patient est non malade
  • Faux négatif : test négatif alors que le patient est malade
  • Sensibilité : P_M(T) — P(test positif | malade)
  • Spécificité : P_M̄(T̄) — P(test négatif | non malade)

Variable aléatoire discrète

X associe un nombre à chaque issue. La somme des P(X = xᵢ) vaut toujours 1.

Espérance : E(X) = Σ pᵢ × xᵢ

Loi de Bernoulli

La loi de probabilité est appelée loi de Bernoulli (0,1) de paramètre p.
Deux issues : succès S (prob. p) et échec E (prob. q = 1−p).
X = 1 (succès) ou 0 (échec). E(X) = p
IssueSuccèsÉchec
x10
P(X=x)pq = 1−p

Échantillons et fréquences

Pour un échantillon de taille n d'une loi de Bernoulli de paramètre p :
s = √(p(1−p) / n)

Environ 68% des fréquences observées f appartiennent à [p − s ; p + s].
Plus n est grand, plus s est petit → fréquences proches de p.